Reporte

 Echo por: Pedro Reyes Badillo, David Pérez Alemán

ANÁLISIS GRÁFICO DE POSICIÓN DE ESLABONAMIENTOS

Para cualquier eslabonamiento con un GDL, tal como uno de cuatro barras, sólo se necesita un parámetro para definir completamente las posiciones de todos los eslabones. El parámetro que normalmente se escoge es el ángulo del eslabón de entrada.

Este se muestra como ɸ2 en la figura 4-4. Se quiere encontrar ɸ3 y ɸ4 Se conocen las longitudes de los eslabones. Observe que de manera consistente se numerará al eslabón de fijación como 1 y al eslabón impulsor como 2 en estos ejemplos.

FIGURA 4-4

Medición de los ángulos en un eslabonamiento de cuatro barras

El análisis gráfico de este problema es trivial y puede hacerse usando sólo geometría de bachillerato. Si se dibuja el eslabonamiento cuidadosamente a escala, con regla, compás y transportador en una posición en particular (dada  ɸ2), entonces sólo es necesario medir los ángulos de los eslabones 3 y 4 con el transportador.

Representación del lazo vectorial de eslabonamientos

 Un enfoque alternativo de análisis para la posición de eslabonamientos es crear un lazo vectorial (o lazos) alrededor del eslabonamiento. Este enfoque ofrece algunas ventajas en la síntesis de eslabonamientos, Los eslabones se representan como vectores de posición. La figura 4-6 muestra el eslabonamiento de cuatro barras, pero ahora los eslabones están dibujados como los vectores de posición del lazo vectorial. Este lazo se cierra en sí mismo haciendo que la suma de los vectores con respecto al lazo sea cero.

FIGURA 4-6

Lazo vectorial de posición para un eslabonamiento de cuatro barras

Este método fue creado por el profesor F.H. Raven en "Velocity and Acceleration Analysis of Plañe and Space Mechanisms by Means of Independent Position Equations"

Los números complejos como vectores

Hay muchos modos de representar vectores. Éstos se pueden definir en coordenadas polares, por su magnitud y su ángulo, o en coordenadas cartesianas, mediante las componentes x y y. Estas formas, desde luego, se pueden convertir fácilmente de una a la otra utilizando las ecuaciones

Los vectores de posición en la figura 4-6 pueden representarse con cualquiera de las siguientes expresiones: 

La ecuación 4.3 emplea vectores unitarios para representar las direcciones de las componentes x y y de un vector en forma cartesiana.

En la figura 4-7 se ilustra la notación con vectores unitarios en el caso de un vector de posición.

FIGURA 4-7

Notación de vectores unitarios para vectores de posición

En la ecuación 4.3b se usa la notación de números complejos; en este caso la componente en la dirección X se denomina parte real, y la componente en la dirección Y, parte imaginaria.

a) Representación con números complejos de un vector de posición

b) Rotaciones vectoriales en el plano complejo

FIGURA 4-8

Representación con números complejos de vectores en el plano

Solución de posición en el eslabonamiento de la manivela-corredera de cuatro barras

El mismo enfoque de lazo vectorial utilizado anteriormente se puede aplicar a un eslabonamiento que contiene correderas. La figura 4-9 muestra un eslabonamiento de cuatro barras de manivela-corredera con corrimiento, inversión núm 1.El término corrimiento indica que el eje de corredera prolongado no pasa por el pivote de la manivela.

FIGURA 4-9

Lazo vectorial de vectores de posición para un eslabonamiento de cuatro barras de manivela-corredera

El análisis se simplifica al disponer de un eje coordenado paralelo al eje de deslizamiento. El vector R1 de longitud variable y dirección constante representa entonces la posición de la corredera con magnitud d. El vector R4 es ortogonal a R1 y define la magnitud constante del corrimiento del eslabonamiento. Advierta que para el caso especial, la versión sin corrimiento, el vector R4 será igual a cero y R1=Rs .Los vectores R2 y R3 completan el lazo vectorial. El vector de posición del acoplador R3 se coloca con su principio en la corredera, la cual define entonces su ángulo theta3 en el punto B. Esta configuración particular de vectores de posición conduce a una ecuación de lazo vectorial semejante al ejemplo de eslabonamiento de cuatro barras con juntas de pasador:

R2-R3-R4-R1=0

Método del polígono para análisis de velocidad y aceleración

El método de los polígonos de velocidad y aceleración requiere la solución consecutiva del análisis de posición, del análisis de velocidad y del análisis de aceleración y, por otro lado, muestran la aplicación de los centros instantáneos de velocidad en la solución del análisis de velocidad.

 Análisis de Posición de Mecanismos Planos. 

En esta sección se muestra como resolver el análisis de posición del mecanismo plano. Posteriormente, se mostrara que el análisis de posición del mecanismo plano involucra la solución de un sistema de ecuaciones no lineales, un problema complicado, pero que resuelto gráficamente es casi trivial. Considere el mecanismo plano de seis barras mostrado en la figura 1. La figura muestra las longitudes de los eslabones y la escala a la cual se dibuja el mecanismo.

1. El primer paso consiste en localizar el punto O2 y trazar las dos líneas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que partiendo de O2, permiten localizar el punto O6 y la línea sobre la cual esta localizado el punto C. 

2. El segundo paso consiste en localizar el punto A trazando una línea que pasa por O2 y con un ángulo de 45◦ con respecto al semieje positivo X, vea la figura 2. 

Figure 2: Segundo Paso del Análisis de Posición de un Mecanismo Plano de Seis Barras.

 3. El tercer paso consiste en determinar el punto C, localizando la intersección de la línea horizontal que pasa por el punto O2 y un círculo con centro en el punto A y radio igual a la longitud AC. Es evidente que la solución indicada en la parte derecha de la figura 3 no es de interés en este problema. Además, es posible determinar la localización del punto B, situado a la mitad del segmento AC.

4. El paso final del análisis de posición del mecanismo consiste en la determinación del punto D, localizado en la intersección de dos círculos. El primero de ellos con centro en el punto B y radio igual a BD y el segundo con centro en el punto O6 y radio O6D. Es evidente que la solución indicada con línea punteada, en la figura 4, no es la deseada. 

El resultado de este análisis de posición es el dibujo del mecanismo mostrado en la figura 1. Este dibujo es el punto de partida para realizar el análisis de velocidad del mecanismo. 

 Análisis de Velocidad de Mecanismos Planos.

En esta sección se muestra como, después de finalizar el análisis de posición de un mecanismo plano, es posible resolver el análisis de velocidad del mecanismo. A continuación se presentan los pasos necesarios para realizar el análisis de velocidad del mecanismo. 

Figure 3: Tercer Paso del Análisis de Posición de un Mecanismo Plano de Seis Barras.

Figure 4: Cuarto Paso del Análisis de Posición de un Mecanismo Plano de Seis Barras. 

1. El primer paso del análisis de velocidad consiste en seleccionar un punto que servirá como origen del polígono de velocidad, así como la escala con la que se dibujarán los vectores asociados al polígono de velocidad, por ejemplo 1 u.l. = 1 mm/seg.. Como regla general, se recomienda dibujar el polígono y los cálculos correspondientes al análisis de velocidad en una nueva capa —“layer”— y con otro color. Por ejemplo, en el problema a resolver se seleccionó una escala de 100 u.l. = 1pulg./seg., vea la figura 5. 2. El segundo paso consiste en dibujar el vector que representa la velocidad del punto A, ~vA. Debe notarse que en el punto A existen en realidad dos puntos A coincidentes, uno que forma parte del eslabón 2, A2, y el otro que forma parte del eslabón 3, A3. Puesto que el punto A está localizado en el eje de rotación del par de revoluta, ambos puntos tienen la misma velocidad, es decir ~vA2 = ~vA3 . Esta velocidad está calculada, como si el punto A formara parte del eslabón 2, por lo tanto ~vA = ~ω2 × ~rA/O2 ,

Figure 5: Resultado del Análisis de Velocidad de un Mecanismo Plano de Seis Barras. 

donde la magnitud de esta velocidad esta dada por 

| ~vA |=| ~ω2 || ~rA/O2 | Sen 90◦ = 2 pulg/ seg.

 Puesto que la escala del polígono de velocidad es de 100 u.l. = 1pulg./seg., el vector que representa ~vA es de 200 u.l. Además, la dirección de ~vA es perpendicular a ambos ~ω2, por lo tanto en el plano del dibujo, y a ~rA/O2 . Debe notarse que para facilitar la medición de los vectores la punta de flecha no está, como es usual, dibujada en el extremo del vector, el extremo del vector se denomina el punto A, vea la figura 6, y corresponde a la imagen de velocidad del punto A del mecanismo.

Figure 6: Primer Paso del Análisis de Velocidad de un Mecanismo Plano de Seis Barras. 

3. El segundo paso consiste en determinar la velocidad del punto C, como se indicó en el primer paso, existen dos puntos C coincidentes. C3 que forma parte del eslabón 3 y C4 que forma parte del eslabón 4. Como ambos puntos yacen en el eje de rotación del par de revoluta tienen la misma velocidad. Por lo tanto ~vC3 = ~vC4 .

 Además, la velocidad del punto C3, está dada por

 ~vC3 = ~vA3 + ~ω3 × ~rC/A = ~vA2 + ~ω3 × ~rC/A = ~vA2 + ~vC/A 

 Por lo tanto, se tiene la ecuación vectorial 

~vA2 + ~ω3 × ~rC/A = ~vC4 , 

donde, además, se conoce la dirección de ~vC4 , puesto que el par cinemático que conecta los eslabones 1 y 4 es un par prismático, entonces la dirección de ~vC4 es horizontal. Esta ecuación vectorial (2) genera dos ecuaciones escalares y por lo tanto debe existir, como máximo, dos incógnitas escalares. Estas incógnitas son, la magnitud de la velocidad angular ~ω3 y la magnitud de la velocidad ~vC4 . De manera gráfica, la ecuación (2) se resuelve dibujando, a partir del punto A, una línea en la dirección de la velocidad ~vC/A = ~ω3 × ~rC/A y a partir del punto O, una línea en la dirección de la velocidad ~vC4 . La intersección de ambas líneas determina el punto C, vea la figura 7, que es la imagen de velocidad del punto C del mecanismo original. 

Figure 8: Tercer Paso del Análisis de Velocidad de un Mecanismo Plano de Seis Barras. 

ocasiones, es necesario, además, determinar la velocidad de un punto, como cuando un eslabón está sujeto a un movimiento de traslación en cuyo caso todos los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad y la velocidad angular del eslabón es nula. 

(a) Considere la determinación de la velocidad angular ~ω5. El primer problema es el determinar cual de los vectores del polígono de velocidad permite determinar ~ω5, la solución es muy simple, el vector debe conectar dos puntos que pertenezcan al eslabón 5, es decir los puntos B y D. En este caso es el vector ~vD/B, del dibujo Autocad, se tiene que la magnitud del vector es de 152.9509 u.l., por lo que, a partir de la escala del polígono de velocidad, que es de 100 u.l. = 1 pulg./seg., se tiene que

 ~vD/B = 1.529509 pulg./seg. 

El sentido es el indicado por el polígono de velocidad, de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba. A partir de la ecuación (5), se tiene que

 ~vD/B = ~ω5 × ~rD/B | ~vD/B |=| ~ω5 || ~rD/B | Sen 90◦ =| ~ω5 || ~rD/B | 

Por lo tanto,

 | ~ω5 |= | ~vD/B |/ | ~rD/B | = 1.529509 pulg./seg. 4 pulg. = 0.38237725 rad./seg. 

El sentido se determina empleando la regla de la mano derecha, en este caso es en sentido horario –cw clockwise–. 

(b) Considere la determinación de la velocidad del punto C. Debe recordarse que ~vC3 = ~vC4. Mida el vector que va del punto O al punto C, del dibujo Autocad, se tiene que la magnitud del vector es de 116.0213 u.l., por lo que, a partir de la escala del polígono de velocidad, que es de 100 u.l. = 1 pulg./seg., se tiene que

 ~vC = ~vC3 = ~vC4 = 1.160213 pulg./seg. 

El sentido de la velocidad es el indicado en el polígono de velocidad. El resto de los resultados, que se emplearán como datos para el análisis de aceleración, se determina de manera semejante. 

 Análisis de Aceleración de Mecanismos Planos.

En esta sección se muestra como, después de finalizar el análisis de posición y de velocidad de un mecanismo plano, es posible resolver el análisis de aceleración del mecanismo. A continuación se presentan los pasos necesarios para realizar el análisis de aceleración del mecanismo. 

1. El primer paso del análisis de aceleración consiste en seleccionar un punto que servirá como origen del polígono de aceleración, así como la escala con la que se dibujarán los vectores asociados al polígono de aceleración, por ejemplo 1 u.l. = 1 mm/seg2 . Como regla general, se recomienda dibujar el polígono y los cálculos correspondientes al análisis de aceleración en una nueva capa –“layer”– y con otro color. Por ejemplo, en el problema a resolver se seleccionó una escala de 100 u.l. = 1pulg./seg2 ., vea la figura 9.

Figure 9: Resultado del Análisis de Aceleración de un Mecanismo Plano de Seis Barras. 

En este caso se supondrá que la velocidad angular del eslabón 2 es constante, por lo tanto ~α2 = 0 rad./seg2 . 

2. El segundo paso del análisis de aceleración consiste en calcular todas las aceleraciones normales y la aceleración tangencial del punto A. Para tal fin, se tiene que, empleando el concepto de placa representativa, las aceleraciones normales están dadas por

 ~anA = ~ω2 × ~ω2 × ~rA/O2
= − | ~ω2 | 2 ~rA/O2

 ~anC/A = ~ω3 × ~ω3 × ~rC/A
= − | ~ω3 | 2 ~rC/A

 ~anD/B = ~ω5 × ~ω5 × ~rD/B
= − | ~ω5 | 2 ~rD/B 

~anD = ~ω6 × ~ω6 × ~rD/O6
= − | ~ω6 | 2 ~rD/O6 

Las magnitudes de estas aceleraciones normales están indicadas en la figura 9. Por otro lado, la aceleración tangencial del punto A está dada por

 ~atA = ~α2 × ~rA/O2 = ~0 pulg./seg.2 

3. El tercer paso del análisis de aceleración consiste en determinar la aceleración del punto C, vea la figura 10. De nueva cuenta debe notarse que existen dos puntos C coincidentes. C3 que forma parte del eslabón 3 y C4 que forma parte del eslabón 4. Como ambos puntos yacen en el eje de rotación del par de revoluta tienen la misma aceleración. Por lo tanto 

~aC3 = ~aC4 . 

Además, la aceleración del punto C3, está dada por 

~aC3 = ~aA3 + ~anC/A + ~atC/A = ~aA3 + ~ω3 × ~ω3 × ~rC/A
+ ~α3 × ~rC/A 

= ~aA2 + ~ω3 × ~ω3 × ~rC/A
+ ~α3 × ~rC/A 

Por lo tanto, se tiene la ecuación vectorial 

~aA2 + ~anC/A + ~α3 × ~rC/A = ~a

donde, de nueva cuenta, la dirección de la aceleración ~aC4 es horizontal pues el par cinemático que conecta los eslabones 1 y 4 es prismático. Esta ecuación vectorial (7) genera dos ecuaciones escalares y por lo tanto deben existir, como máximo, dos incógnitas escalares. Estas incógnitas son, la magnitud de la aceleración angular ~α3 y la magnitud de la aceleración ~aC4 . De manera gráfica, la ecuación (7) se resuelve dibujando, a partir del punto A, un vector que represente, a la escala seleccionada, la aceleración normal ~anC/A y, a continuación, una lineal en la dirección de la aceleración tangencial ~atC/A = ~α3 × ~rC/A y a partir del punto O, una lineal en la dirección de la aceleración ~aC4 . La intersección de ambas líneas determina el punto C, vea la figura 10. 

Figure 10: Tercer Paso del Análisis de Aceleración de un Mecanismo Plano de Seis Barras. 

4. El tercer paso del análisis de aceleración consiste en determinar la aceleración del punto B, vea la figura 10, a partir de la ecuación (6) puede escribirse 

~aB3 = ~aA3 + ~ω3 × ~ω3 × ~rB/A
+ ~α3 × ~rB/A 

Sin embargo, los puntos A, B y C son colineales. De manera que tomando en cuenta las distancias entre los puntos, se tiene que 

~rB/A = 1 2 ~rC/A 

De aquí que 

~aB3 = ~aA2 + ~ω3 × ~ω3 × ~rB/A
+ ~α3 × ~rB/A

= ~aA2 + 1 2 ~ω3 × ~ω3 × ~rC/A
+ 1 2 ~α3 × ~rC/A 

= ~aA2 + 1 2 ~anC/A + 1 2 ~atC/A = ~aA2 + 1 2 ~aC/A. 

Esta ecuación puede resolverse gráficamente dibujando un vector que conecte el punto A con el punto C, este vector representa la aceleración total del punto C respecto del punto A 

~aC/A = ~anC/A + ~atC/A 

A continuación se dibuja un circulo con centro en el punto A, del polígono de aceleración, con radio igual a la mitad del vector ~aC/A. La intersección del círculo con el vector ~aC/A determina el punto B. Si se dibujara el vector que va del punto O al punto B, este vector determinaría la aceleración de ambos puntos B3 y B5, denominada ~aB

Figure 11: Cuarto Paso del Análisis de Aceleración de un Mecanismo Plano de Seis Barras. 

5. El quinto paso del análisis de aceleración consiste en determinar la aceleración del punto D, nuevamente se tiene que

 ~aD5 = ~aD6 

Esta ecuación puede escribirse como 

~aD5 = ~aB5 + ~anD/B + ~atD/B = ~aB5 + ~ω5 × ~ω5 × ~rD/B
+ ~α5 × ~rD/B 

= ~ω6 × ~ω6 × ~rD/O6
+ ~α6 × ~rD/O6 = ~anD + ~atD = ~aD6  

De nueva cuenta, si la ecuación (10) puede resolverse debe tener como máximo dos incógnitas escalares. En este caso, esas incógnitas son las magnitudes de las aceleraciones angulares ~α5 y ~α6. Gráficamente esta ecuación se resuelve dibujando a partir del punto B un vector que represente, a la escala seleccionada, la aceleración normal ~anD/B y, a continuación, una línea en la dirección de la aceleración tangencial ~atD/B = ~α5 × ~rD/B. Por otro lado, es necesario dibujar, a partir del punto O un vector que represente, a la escala seleccionada, la aceleración normal ~anD y, a continuación, una linea en la dirección de la aceleración tangencial ~atD = ~α6 ×~rD/O6 . La intersección de estas dos líneas determina el punto D, vea la figura 9. 

6. El paso final del análisis de aceleración consiste en determinar las magnitudes de los vectores del polígono de aceleración y a partir de ellos determinar la magnitud y dirección de las aceleraciones angulares. En ocasiones, es necesario además determinar la aceleración de un punto, como cuando un eslabón está sujeto a un movimiento de traslación en cuyo caso todos los puntos del cuerpo tienen la misma aceleración y la aceleración angular del eslabón es nula. 

(a) Considere la determinación de la aceleración angular ~α5. El primer problema es el determinar cual de los vectores del polígono de aceleración permite determinar ~α5, la solución es muy simple, el vector debe conectar dos puntos que pertenezcan al eslabón 5, es decir los puntos B y D, además la magnitud del vector debe depender de la magnitud del vector ~α5. En este caso, la solución es el vector ~atD/B, del dibujo Autocad, se tiene que la magnitud del vector es de 164.4554 u.l., por lo que, a partir de la escala del polígono de aceleración, que es de 100 u.l. = 1 pulg./seg2 ., se tiene que 

~atD/B = 1.644554 pulg./seg2 . 

El sentido es el indicado por el polígono de aceleración, de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba. A partir de la ecuación (10), se tiene que 

~atD/B = ~α5 × ~rD/B | ~atD/B |=| ~α5 || ~rD/B | Sen 90◦ =| ~α5 || ~rD/B | 

Por lo tanto, 

| ~α5 |= | ~atD/B | | ~rD/B | = 1.644554 pulg./seg2 . 4 pulg. = 0.4111385 rad./seg2 .